Feb 20, 2011

[小筆記]向量內積&外積


a‧b叫內積，而a×b叫外積
內積的定義為：
有兩個向量a,b，a‧b=|a|*|b|*cosθ
在數學上亦常有另一型式
若向量a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)
則a‧b=a1b1+a2b2+a3b3 *純量*



外積的話
在空間中才有意義，因為外積算出來的向量會與向量a,b均垂直
定義為外積向量的大小=|a|*|b|*sinθ
方向則是利用右手開掌定則去定
(大拇指的方向與4指的方向分別代表a,b的方向→掌心所指的方向即為外積後向量的方向)
通常在數學上的算法為
有兩空間向量$\vec{a}=a_1\vec{\imath}+a_2\vec{\jmath}+a_3\vec{k}$， $\vec{b}=b_1\vec{\imath}+b_2\vec{\jmath}+b_3\vec{k}$，$\vec{\imath}, \vec{\jmath}, \vec{k}$ 分別代表 x軸、y軸、z 軸正向的單位向量，則\begin{displaymath}\vec{\imath}\times\vec{\jmath}=\vec{k},\quad \vec{\jmath}\tim... ...ec{k}=\vec{\imath},\quad \vec{k}\times\vec{\imath}=\vec{\jmath}\end{displaymath}。

\begin{displaymath} \vec{a} \times \vec{b} = (a_2 b_3 - a_3 b_2) \vec{\imath} + (a_3 b_1 - a_1 b_3) \vec{\jmath} + (a_1 b_2 - a_2 b_1) \vec{k} \end{displaymath}

藉 [行列式] 表示之
\begin{displaymath} \left\vert\begin{array}{ccc} \vec{\imath} & \vec{\jmath} & \... ..._2 & a_3\\ b_1 & b_2 & b_3 \end{array} \right\vert \eqno{(*)} \end{displaymath}

File:Cross product vector.svg
座標系統的外積表示
File:Right hand rule cross product.svg
藉右手定則找到外積方向



注意：
[內積] 的結果是個純量；[外積] 的結果還是個向量
但內積在平面和空間的用法又有些不同 


向量內積以•表示
例如標準型式：A•B(注意！這並非意思為A乘B)
定義為"A在B方向的投影量"
在物理意義上
你可以想像成你抓住繩子拉一個木塊(繩子與桌面平行)
用的力量是1公斤(1公斤全部作用在X方向)
可是今天如果你把繩子往上移一個角度
你會發現便難拉了
因為斜線的1公斤力量會分一部份到Y方向
這時候X方向的力量變小了
而且要拉動木塊一定要用X方向的力
所以內積意義在於你可以將一個斜線的"量"
求出他在某個方向的分量

向量外積用×表示(注意！這不是乘號)
向量外積意思是當某個方向的力量旋轉某個角度，則在某個方向會產生一個垂直力
物理上來說
你拿螺絲把頂住木塊表面
當你向右轉你會發現會有一個力量往木塊鑽去(自然界就是這麼奇妙)
換句話說向量外積就是在算往木塊鑽進去力量的大小
你會發現轉的角度越大，則往裡面鑽的力量也越大喔
所以你用力一直轉一直轉
螺絲把就一直鑽進去 
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